Modèles pour le Film Lacrymal Humain

Groupe du film lacrymal

C’était le groupe à l’été 2016.
De gauche à droite, rangée arrière: Rich, Spencer, Kevin.
De gauche à droite, au premier rang: Chris, Jerome, Amy, Mike.
Pas sur la photo: Toby Driscoll, Christiaan Ketelaar, Javed Siddique, Tony Mastroberardino.

Membres de l’U of Delaware

Richard Braun, Faculté
Tobin Driscoll, Faculté
Michael Stapf, Étudiant diplômé pour l’été 2012 programme Unidel et doctorant actuel.
Lan Zhong, Étudiant diplômé en AY 2014-15, à travers le présent.
Kevin Aiton, Étudiant diplômé à partir de l’été 2016.
Rayanne Luke, Étudiante diplômée pour l’été 2017.

Collaborateurs

Carolyn Begley, Université de l’Indiana
P. Ewen King-Smith, Université d’État de l’Ohio
William Henshaw, Institut Polytechnique Rensselaer
Kara Maki, Institut de technologie de Rochester
Javed Siddique, Université d’État de Pennsylvanie à York
Tony Mastroberardino, Pennsylvania State University à Erie
Ranganathan Usha, IIT Madras, Inde (visité en 07-08 à UD)
Christiaan Ketelaar, Université Francisco Marroquin, Guatemala
Geoffrey McFadden, NIST
Daniel Anderson, Université George Mason

Progrès récents

Vidéos d’introduction

Inspirés par le concours Thèse en trois d’ARVO en 2015, nos étudiants ont réalisé de courtes vidéos sur leurs projets pour les non-experts.

Nouveau! Journal of Modeling in Ophthalmology!

Une nouvelle revue dédiée à l’intersection de l’ophtalmologie et de la modélisation mathématique vient de publier son premier numéro! Les rédacteurs fondateurs sont les Drs. Alon Harris (ophtalmologie) et Giovanna Guidoboni (mathématiques), tous deux de l’IUPUI; Le Dr Braun fait partie du comité de rédaction.

Blue Rocks Game 2015

Posant avec Rocky Bluewinkle, la mascotte des Blue Rocks.

Plus d’articles sur le film lacrymal

Outre le document Progress in Retinal and Eye Research (voir ci-dessous), d’autres articles ont été publiés cette année.

  • «Dynamique du film lacrymal avec évaporation, osmolarité et transport de surfactant», J. Siddique et R.J. Braun, Appl. Math. Modeling, 39: 255-269, 2015; doi.
  • Les effets de l’augmentation de la stimulation de la surface oculaire sur le clignement des yeux et la sécrétion des larmes, « Ziwei Wu, CG Begley, N. Port, A. Bradley, RJ Braun et PE King-Smith, Invest. Ophthalmol. Vis. Sci, 56: 4211-4220, 2015; doi.
  • Film de déchirure calculé et dynamique d’osmolarité sur un domaine en forme d’oeil, « Longfei Li, R.J. Braun, T.A. Driscoll, W.D. Henshaw, J.W. Banks et P.E. King-Smith, Math. Med. Biol., 2015; doi.

Collaborations en cours

Notre groupe a collaboré avec le groupe de Carolyn Begley à l’Indiana University School of Optometry. Ils utilisent plusieurs méthodes pour imager le film lacrymal et sont également disposés à partager de merveilleuses données avec nous. L’article ci-dessous est notre plus grand effort conjoint à ce jour. Cette collaboration est financée par la subvention NIH de Carolyn du National Eye Institute.

Article de revue sur le film lacrymal – orienté vers la surface oculaire

Un article de synthèse sur les films lacrymaux qui comprend de nombreux nouveaux résultats est paru dans Progress in Retinal and Eye Research, une revue sur invitation, début 2015. « Dynamics and function of the lacry film by rapport to the blink cycle » est actuellement disponible en ligne sur sur le site du journal.

Quelques articles sur la rupture des larmes et l’imagerie

  • «Dynamique du film lacrymal avec évaporation, mouillage et conditions aux limites du flux dépendant du temps sur un domaine en forme d’œil», Longfei Li, RJ Braun, KL Maki, WD Henshaw, PE King-Smith, Physics of Fluids 26, 052101 (2014) ; doi
  • «Un modèle pour l’amincissement des films lacrymaux avec osmolarité et fluorescéine», RJ Braun, NR Gewecke, CG Begley, PE King-Smith et JI Siddique, Invest. Ophtalmol. Vis. Sci. 55, 1133 à 1142, 201; doi
  • «Instabilité due à l’évaporation du film lacrymal précornéen», C-C Peng, C Cerretani, RJ Braun et CJ Radke, Advances in Colloid and Interface Science 206, 250-264, 2014; doi
  • «Rupture et structure du film lacrymal étudiées par enregistrement vidéo simultané d’images de fluorescence et de couche lipidique de film lacrymal», PE King-Smith, KS Reuter, RJ Braun, JJ Nichols et KK Nichols, Invest. Ophtalmol. Vis. Sci. 54, 4900-09, 2013; doi
  •  «Images de films lacrymaux et analyse des ruptures à l’aide d’une trempe fluorescente», PE King-Smith, P. Ramamoorthy, RJ Braun et JJ Nichols, Invest. Ophtalmol. Vis. Sci. 54, 6003-11, 2013; doi

Quelques articles sur le clignotement et le refroidissement

Les articles suivants concernant le clignotement sont apparus récemment.

  • «Transfert de chaleur et dynamique du film lacrymal sur plusieurs cycles de clignements», Quan Deng, RJ Braun et TA Driscoll, Phys. Fluids 26, 071901 (2014); doi
  • « Un modèle pour le film lacrymal et la température de la surface oculaire pour les clignements partiels », Quan Deng, RJ Braun, TA Driscoll et PE King-Smith, Phénomènes interfaciaux et transfert de chaleur 1, 357-381, 2013; doi
  • « Un modèle pour le film lacrymal humain avec chauffage de l’intérieur de l’œil », Longfei Li et RJ Braun, Phys. Fluids 24, 062103 (2012); doi

Progrès de la deuxième subvention NSF

Article de synthèse sur le film lacrymal – orienté mécanique des fluides

Un article de synthèse sur les films lacrymaux dans la Revue annuelle de la mécanique des fluides est paru en janvier 2012. « Dynamics of the Tear Film » est actuellement disponible en ligne dans le volume 44 de la revue.

Un récent discours sur notre travail

Lors d’un atelier BIRS en décembre 2012, ce discours a résumé certains de nos travaux récents.

Éléments de modèles thermiques pour le film lacrymal

Longfei Li a publié un article sur la modélisation mathématique du film lacrymal qui capture le refroidissement observé de la surface oculaire pendant la période d’inter-clignement. Il a utilisé des modèles avec un substrat épais, mince ou sans substrat. Le substrat épais est nécessaire pour refroidir la surface oculaire. Longfei a pu identifier les propriétés thermiques optimales pour correspondre au refroidissement observé dans les yeux. L’article sur le sujet est paru dans Physics of Fluids (Un modèle pour le film lacrymal humain avec chauffage de l’intérieur de l’œil, Phys. Fluids 24, 062103 (2012); http://dx.doi.org/10.1063/1.4723870)

Traitement des images du microscope lipidique

Kaijing Wang (majeure en mathématiques, soutenu par NSF REU) et Christian Paul (major en génie civil) ont travaillé avec les Drs Braun et Driscoll pour automatiser la classification des images du microscope lipidique au College of Optometry de l’Ohio State University. Trois optométristes (Drs King-Smith, Nichols et Nichols) et leurs collègues ont réalisé des milliers d’images de la couche lipidique à l’avant de l’œil. Kaijing et Christian ont travaillé sur l’utilisation de méthodes de regroupement sur un ensemble d’images relativement petit utilisé dans un article soumis par le groupe Ohio State. Les résultats sont très encourageants et le travail se poursuivra sur le projet. Ce projet a été soutenu en partie par un supplément REU à notre subvention actuelle (1022706) et par la subvention HHMI ici à l’UD.

Modèles d’interaction entre film lacrymal et surface oculaire

Jen Bruhns (QBio major, HHMI soutenu) et Doug Freeman (Math majeur, NSF REU soutenu) ont travaillé avec le Dr Braun sur des modèles pour connecter le film lacrymal et la surface oculaire par osmose dans la cornée. Le modèle a relié le film lacrymal à l’épithélium cornéen qui a été initialement développé pour les yeux de souris. Les travaux se poursuivent après un bon début d’été. Ce projet a été financé en partie par un supplément REU à notre subvention actuelle (1022706).


Progrès de la première subvention NSF

Plusieurs cycles de clignotements et le film lacrymal

Nous utilisons la théorie de la lubrification pour développer des équations différentielles partielles non linéaires qui régissent la surface libre du film lacrymal humain pendant le cycle de clignement complet. Dans le cas le plus simple, la surface du film est supposée exempte de contraintes (SF), comme si le liquide lacrymal était de l’eau pure; une autre limite simplificatrice est celle d’un tensioactif insoluble très fort, où la surface du film s’étire uniformément (la limite d’étirement uniforme, ou USL). Dans chaque limite, un seul pde régit la forme de la surface libre; nous avons étendu les travaux de Jones et al (Math Med Bio, 2005) en ajoutant des effets supplémentaires et en calculant pour tout le cycle de clignotement.

Nous avons calculé plusieurs cycles de clignotement pour ces cas limites avec la simplification du mouvement sinusoïdal du couvercle mobile. Dans ce cas, une méthode MOL basée sur des différences finies uniformes dans l’espace et des méthodes BDF pour les ODE résultantes (via DASPK) a été utilisée. Bien que cela semble être une simplification radicale, cela permet toujours de corriger un certain nombre de choses. Par exemple, il y a une transition entre l’évolution périodique et non périodique du film lacrymal pour les clignements incomplets; Pour cela, le film lacrymal se comporte comme s’il y avait un clignotement complet même si les couvercles étaient complètement fermés. De plus, après un demi-clignement, il y a une vallée dans le liquide lacrymal correspondant à l’endroit où se trouvait le couvercle; nous avons des mesures quantitatives d’épaisseur de film à partir de modèles d’interférence in vivo à utiliser pour la comparaison. Le mouvement du couvercle sinusoïdal capture qualitativement l’existence de cette vallée. Ces travaux ont été publiés dans JFM (Braun et King-Smith, JFM 586 (2007) 465-490).

Nous avons résolu les pdes en utilisant une méthode spectrale modifiée et avec un mouvement de couvercle réaliste à partir de clignements. La méthode MOL cartographie les points de Chebyshev dans l’espace pour minimiser l’erreur d’arrondi dans les dérivées supérieures et utilise les valeurs de flux exactes des conditions aux limites lors de l’évaluation des ODE aux points de la grille; les ODE sont résolus à l’aide d’ode15 dans Matlab et le code a été développé par Alfa Heryudono. L’approximation conserve très bien le volume, généralement en dessous de 0,0001 ou meilleure erreur relative sur plusieurs cycles de clignotement; il s’agit d’une amélioration significative par rapport à la méthode précédente basée sur la grille de différence finie uniforme. En utilisant un mouvement de couvercle réaliste, nous obtenons un meilleur accord avec les mesures d’épaisseur de film in vivo à partir du demi-clignement et les résultats modifiés pour la transition des solutions périodiques aux solutions non périodiques pour le film. Ce travail est accepté pour publication dans « Modèles à une seule équation pour le film lacrymal dans un cycle de clignotement: mouvement réaliste du couvercle », Médecine mathématique et biologie (Heryudono, Braun, Driscoll, Maki, Cook et King-Smith, Math Med Biol 24, (2007) 347- 377). La présentation faite par Alfa lors de la réunion APS DFD 2007 est disponible.

Heryudono et Driscoll ont développé des méthodes de fonction de base radiale pour ces types de problèmes. Ils ont publié les résultats d’une méthode rbf adaptative pour les problèmes de second ordre dans l’espace, qui a été publiée (Driscoll et Heryudono, «Méthodes adaptatives de sous-échantillonnage résiduel pour les problèmes d’interpolation et de collocation de la fonction de base radiale», Comp. Appl. Math. 53 (2007). ) 927). Ils ont également publié les algorithmes rbf sur www.matlabcentral.com.

Grilles surdimensionnées en 1D et 2D

Déchirure réflexe en 1D

Une méthode de grille surdimensionnée a été développée, par Kara Maki, pour un problème de film lacrymal incorporant l’ouverture et la relaxation en position ouverte, ainsi que des effets plus physiologiques. Les effets comprennent l’amélioration des conditions aux limites du flux pour l’approvisionnement en larmes et la déchirure réflexe, la gravité et l’évaporation. Kara a donné cette conférence lors de la réunion de l’APS DFD en 2007 (et la conférence utilise ce film de 37 Mb. Ce manuscrit a été publié dans « An Overset Grid Method for the Study of Reflex Tearing » in Mathematical Medicine and Biology (KL Maki, RJ Braun, TA Driscoll et PE King-Smith, Math Med Biol 25, (2008) 187-214.)

Dynamique des films lacrymaux en 2D

Kara a également développé des modèles 2D du film lacrymal post-clignement en utilisant le cadre Overture; Bill Henshaw (LLNL) contribue considérablement à cet effort. Dans le premier cas, nous avons utilisé des équations de lubrification pour le film lacrymal et les conditions aux limites qui spécifient l’épaisseur du film et la pression à la frontière. Ce travail est paru électroniquement dans Médecine Mathématique et Biologie (doi: 10.1093 / imammb / dqp023).

Nous avons également mis en place des conditions aux limites du flux; certains travaux préliminaires ont été présentés lors de cette conférence lors de la réunion APS DFD de 2008 et ailleurs. (Ces trois films ont été utilisés pour cet exposé: différence d’épaisseur (27 Mb), différence d’épaisseur (50 Mb) et différence d’épaisseur (28 Mb).) L’image ci-dessus à gauche est les vecteurs de direction du flux superposés à la magnitude du flux; plus sombre indique un débit plus lent. Le liquide lacrymal est fourni à partir de l’emplacement temporel supérieur de la glande lacrymale et est extrait aux emplacements de la puncta qui sont près du canthus nasal (coin) à l’extrémité gauche du domaine. Les conditions de flux sont indépendantes du temps, qui est un modèle initial. (En un clin d’œil, l’approvisionnement et le drainage du liquide lacrymal dépendent du temps et sont étroitement liés au mouvement du couvercle.) La majeure partie du flux se situe autour des marges du couvercle.

L’image de droite est la distribution d’épaisseur au temps 10 lorsque la gravité est incluse dans la simulation. Marron indique supérieur ou égal à 3 microns; le bleu foncé est l’épaisseur minimale. La zone tombante de marron indique un renflement dans le ménisque vers l’extérieur à partir de la marge du couvercle. Pour les conditions aux limites de flux que nous avons utilisées, le liquide dans le ménisque supérieur peut traverser la ligne noire si suffisamment de temps est accordé entre les clignotements. Ce travail avec les flux BC spécifiés est accepté pour publication dans Journal of Fluid Mechanics et sera disponible en mars 2010.

Mouillage et évaporation sur la cornée en 1D

Dan Anderson et Kat Winter (alors étudiant au CSUMS à George Mason) ont travaillé avec le Dr Braun sur un modèle de film lacrymal qui a une cornée mouillante et une évaporation du film lacrymal. Le modèle a été comparé à certaines observations in vivo de King-Smith dans l’Ohio State, et le choix de deux paramètres pour s’adapter à l’épaisseur du film « sec » et à la vitesse d’ouverture de la région mince a semblé donner un accord raisonnable entre cette théorie la plus fondamentale et l’expérience . Ce travail est paru électroniquement dans Mathematical Medicine and Biology (doi: 10.1093 / imammb / dqp019). Un exposé comprenant certains de ces résultats est donné dans la section suivante. La conférence comprend également quelques extensions de Pete Ucciferro, un étudiant REU à l’été 09 et un étudiant indépendant à l’automne 09; le travail a été fait dans le cadre d’une équipe GEMS qui comprenait un étudiant diplômé Jiahua Tang, Pam, Chris Raymond et moi.

Effet de la forme cornéenne

L’effet de la forme de la cornée a été étudié par R Usha de l’IIT Madras, Jeff McFadden du NIST, Ewen King-Smith de OSU ainsi que Pam, Toby et moi. Le substrat est presque toujours supposé plat, et la thèse de Berger de 1973 sur le film lacrymal ne justifie pas explicitement l’hypothèse. Le résultat est que nous ne pensons pas que le substrat a un effet important sur la dynamique du film lacrymal. En cours de route, cependant, nous avons essayé un modèle Ellis pour le liquide lacrymal et il a donné des résultats intéressants pour la formation de chocs sur le substrat sphéroïdal prolate. J’ai donné une conférence qui comprenait ces résultats ainsi que la compétition d’une pression, d’une évaporation et d’une gravité conjointes à l’Université du Minnesota dans leur département de génie chimique et de science des matériaux. Un article sur ce travail paraîtra dans le Journal of Engineering Mathematics.

Capturer le mouvement des paupières

Mme Xiaolin Yang, étudiante à la maîtrise au Département d’informatique et des sciences de l’information, a travaillé avec le Dr Braun pour capturer automatiquement le mouvement du couvercle pendant un clignotement à partir de films numériques à haute vitesse de clignotements. Les films ont été tournés au laboratoire MEC du Département des sciences mathématiques de l’UD avec l’aide du Dr John Pelesko. Elle a développé un code qui pourrait extraire les ajustements polynomiaux des moindres carrés des films clignotants en utilisant la détection des bords Sobel avec un certain pré et post-traitement. Cette approximation mathématique qu’elle a générée d’un clignement a déjà été incorporée dans nos efforts pour calculer l’évolution du film lacrymal en deux dimensions. Elle a travaillé avec Braun pendant l’été 2006 et janvier 2007. Le code a été développé dans Matlab, et le code avec quelques résultats apparaîtra sur ce site Web dans un avenir proche.

M. Peter Ucciferro (une majeure en biologie quantitative) et M. Paul Parsons (une majeure en physique) ont été soutenus par un supplément REU pour cette subvention NSF pour l’été 2007. Ils ont travaillé sur l’évaluation et l’extension des algorithmes de Xiaolin pour capturer et représenter mathématiquement la paupière mouvement pendant un clin d’œil. Ucciferro et Parsons ont enregistré quelques observations de clignements et ont étendu le logiciel pour cet aspect du projet. Un aspect de leur travail était d’utiliser le roifill pour brouiller les régions autour de l’œil afin que plus de films clignotants puissent être utilisés. Ils ont présenté leurs résultats dans une excellente présentation conjointe lors du symposium ministériel sur la recherche d’été au premier cycle en août 2007.


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Depuis la salle de presse virtuelle APS DFD 2008, LiveScience a rédigé un article sur notre travail qui a été présenté lors de la réunion. Un article en apparence apparenté est apparu dans SoftPedia à peu près au même moment.

Notre travail a été mentionné dans un bref résumé des faits saillants de la réunion de 2007 de la Tear Film and Ocular Surface Society.

Opportunités

De nombreux aspects de ce projet restent ouverts à enquête; rejoins l’équipe! Si vous êtes intéressé, veuillez contacter le Dr Braun.


Anciens

Postdocs
Nick Gewecke, postdoctorant UD, 2011-14, maintenant dans un poste menant à la permanence dans l’État de Dalton en Géorgie.
Étudiants diplômés
Amy Janett, U of Delaware, MS en mathématiques appliquées à l’été 2016. Amy commencera chez Mitre Corporation à l’automne 2016.
Longfei Li, PhD en mathématiques appliquées 2014. Longfei a accepté la bourse postdoctorale Margaret A. Darrin au RPI avec Bill Henshaw.
Quan Deng, PhD en mathématiques appliquées 2013. Quan a rejoint Amazon dans un poste de recherche.
Kara Maki, U of Delaware, PhD en mathématiques appliquées 2009. Après un postdoctorant IMA, Kara a rejoint la School of Mathematical Sciences du Rochester Institute of Technology
Alfa Heryudono, U of Delaware, PhD in Applied Math 2008, maintenant membre du corps professoral du Département de mathématiques de U Mass Dartmouth.
Ryan Evans, étudiant diplômé de l’Université du Delaware, été 2013 et AY 2013-14.
Kevin Buckman, étudiant diplômé de l’Université du Delaware 2013 (programme Unidel).
Tianyu Qiu, étudiante diplômée du programme GEMS de l’été 2012.
Jiahua Tang, étudiant diplômé de l’Université du Delaware 2010 (soutien GEMS)
Xiaolin Yang, étudiante d’été bénévole à l’Université du Delaware en 2007, MS en CIS à l’UD, puis à Duquesne U.
Étudiants de premier cycle
Pete Ucciferro, étudiant d’été de premier cycle 2007-2009 (soutien NSF REU, 3 fois), étude indépendante de l’automne 2009; a continué au Philadelphia College of Osteopathic Medicine
Paul Parsons, étudiant d’été de premier cycle 2007 (soutien NSF REU)
Stacey Watro, étudiante d’été de premier cycle 2010 (soutien NSF REU)
Douglas Freeman, étudiant d’été de premier cycle 2011.
Wai-Kit Ricky Shum, étudiant d’été de premier cycle 2011
R. Christian Paul, étudiant d’été de premier cycle 2011.
Kaijing Kevin Wang, étudiant de premier cycle été et automne 2011 (soutien NSF REU), actuellement à Ernst and Young.
Jennifer Bruhns, boursière HHMI de premier cycle (été 2011, 2012), étude indépendante 12S et thèse UG 12-13; en commençant le New England College of Optometry en 2013. Jen a remporté le prix départemental de recherche de premier cycle au printemps 2013.
Vikramjit Singh, étudiant d’été de premier cycle 2012 et thèse UG 12-13.
Dylan Chapp, étudiant d’été de premier cycle 2012 et étude indépendante 2012-13. BS en mathématiques 2014. Dylan est allé à un RA dans le département UD CIS; il a remporté le prix départemental de recherche de premier cycle au printemps 2014.
Matthew Moye, étudiant été NSF REU été 2013 et AY 2013-14. Matt a poursuivi des études supérieures en mathématiques au NJIT.
Justin Grier, étudiant NSF REU été 2013. Justin a poursuivi ses études au Nova Southeastern College of Optometry à l’automne 2015.
Laura Cahill, étudiante NSF REU été 2015. Laura a ensuite étudié en santé publique.
Joe Brosch, étudiant de premier cycle, printemps et été 2013, jusqu’en 2016. Joe a remporté deux prix pour des présentations d’affiches lors de réunions conjointes de mathématiques, a remporté le prix départemental de recherche de premier cycle au printemps 2016 et a commencé un travail chez Arotech dans le Michigan à l’automne 2016.
Spencer Walker, étudiant de premier cycle, été 2015, 2016 (NSF REU).
Jerome Troy, étudiant de premier cycle, été 2016 (UDMS).
Chris Cornwell, étudiant de premier cycle, été 2016 NSF REU student.


Photos de groupe

C’était le groupe à l’été 2015.
De gauche à droite, au premier rang: Rich, Mike, Spencer, Amy.
De gauche à droite, au dernier rang: Christiaan, Laura, Joe, Toby, Lan.
Pas sur la photo: Javed Siddique, Tony Mastroberardino.

C’était le groupe à l’été 2014.
De gauche à droite: Rich, Mike, Joe, Longfei, Toby.
Pas sur la photo: Javed Siddique, Ryan Evans.

C’était le groupe à l’été 2013.
Rangée arrière, de gauche à droite: Quan, Joe, Longfei, Dylan, Kevin, Ryan.
Première rangée, de gauche à droite: Toby, Nick, Rich, Matt, Justin.
Pas sur la photo: Christian.
Nous avons célébré un été productif au déjeuner ce jour-là.

C’était le groupe à l’été 2012.
Rangée arrière, de gauche à droite: Nick, Jen, Vikram, Longfei, Quan et Tianyu.
Première rangée, de gauche à droite: Rich, Toby, Javed, Matt, Dylan et Michael.
Nous avons eu un examen à la mi-été ce jour-là.

C’était le groupe à l’été 2011.
Rangée arrière, de gauche à droite: Longfei, Jen, Ricky et Quan.
Première rangée, de gauche à droite: Javed, Rich, Toby, Doug et Kaijing.
Pas sur la photo: Christian.
Nous avons célébré un été productif au déjeuner ce jour-là.

C’était le groupe au printemps 2008.
Rangée arrière, de gauche à droite: Toby, Rich et Pam.
Première rangée, de gauche à droite: Alfa, Kara et Usha.
Alfa avait défendu avec succès sa thèse ce jour-là.


Soutien

Ce matériel est basé sur des travaux soutenus par la National Science Foundation dans le cadre des subventions nos 1412085, 1022706 et 0616483, et par les National Insitutes of Health (NEI) dans le cadre de la subvention no 1R01EY021794. Toutes les opinions, constatations et conclusions ou recommandations exprimées dans ce document sont celles des auteurs et ne reflètent pas nécessairement les vues de la National Science Foundation ou du NIH.

Le groupe est également reconnaissant du soutien du Howard Hughes Medical Institute for undergraduates, et de l’Université du Delaware via son Bureau de la recherche au premier cycle et de l’apprentissage expérientiel ainsi que le Département des Sciences Mathématiques.


Source de la page: http://www.math.udel.edu/~braun/eyes.html
Traduit par Jean-Etienne Bergemer

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